# 子集 (Subsets)

## 题目描述

给你一个整数数组 `nums`，数组中的元素 **互不相同**。返回该数组所有可能的子集（幂集）。

解集 **不能** 包含重复的子集。你可以按 **任意顺序** 返回解集。

### 示例

**示例 1：**
```
输入：nums = [1,2,3]
输出：[[],[1],[2],[1,2],[3],[1,3],[2,3],[1,2,3]]
```

**示例 2：**
```
输入：nums = [0]
输出：[[],[0]]
```

### 约束条件

- `1 <= nums.length <= 10`
- `-10 <= nums[i] <= 10`
- `nums` 中的所有元素 **互不相同**

## 解题思路

### 方法一：回溯法（推荐）

**核心思想：**对于每个元素，可以选择包含或不包含。使用回溯法生成所有可能的组合。

**算法步骤：**
1. 初始化结果数组和当前子集
2. 定义回溯函数 `backtrack(start)`：
   - 将当前子集加入结果
   - 从 `start` 开始遍历，依次尝试包含每个元素
   - 递归调用后撤销选择（回溯）

### 方法二：迭代法（位掩码）

**核心思想：**子集可以用二进制表示。对于 n 个元素，共有 2^n 个子集。

**算法步骤：**
1. 计算子集总数 `total = 1 << n`
2. 对于每个数字 `i` 从 0 到 `total-1`：
   - 将 `i` 的二进制表示转换为子集
   - 第 `j` 位为 1 表示包含 `nums[j]`

### 方法三：级联法

**核心思想：**对于已有的每个子集，通过添加当前元素生成新的子集。

**算法步骤：**
1. 初始化结果为 `[[]]`
2. 对于每个元素：
   - 取出所有已有子集
   - 将当前元素添加到每个子集
   - 将新子集加入结果

## 代码实现

### Go 实现（回溯法）

```go
package main

import "fmt"

func subsets(nums []int) [][]int {
	result := [][]int{}
	current := []int{}

	var backtrack func(start int)
	backtrack = func(start int) {
		// 将当前子集加入结果（需要复制）
		temp := make([]int, len(current))
		copy(temp, current)
		result = append(result, temp)

		// 从 start 开始尝试包含每个元素
		for i := start; i < len(nums); i++ {
			// 选择当前元素
			current = append(current, nums[i])
			// 递归处理下一个元素
			backtrack(i + 1)
			// 撤销选择（回溯）
			current = current[:len(current)-1]
		}
	}

	backtrack(0)
	return result
}

// 测试用例
func main() {
	// 测试用例1
	nums1 := []int{1, 2, 3}
	fmt.Printf("输入: %v\n", nums1)
	fmt.Printf("输出: %v\n", subsets(nums1))

	// 测试用例2
	nums2 := []int{0}
	fmt.Printf("\n输入: %v\n", nums2)
	fmt.Printf("输出: %v\n", subsets(nums2))

	// 测试用例3
	nums3 := []int{1, 2}
	fmt.Printf("\n输入: %v\n", nums3)
	fmt.Printf("输出: %v\n", subsets(nums3))
}
```

```go
func subsetsBitMask(nums []int) [][]int {
	n := len(nums)
	total := 1 << n // 2^n 个子集
	result := make([][]int, 0, total)

	for mask := 0; mask < total; mask++ {
		subset := []int{}
		for i := 0; i < n; i++ {
			// 检查第 i 位是否为 1
			if mask&(1<<i) != 0 {
				subset = append(subset, nums[i])
			}
		}
		result = append(result, subset)
	}

	return result
}
```

```go
func subsetsCascade(nums []int) [][]int {
	result := [][]int{{}} // 初始化为空集

	for _, num := range nums {
		// 对于每个已有子集，添加当前元素生成新子集
		newSubsets := make([][]int, 0, len(result))
		for _, subset := range result {
			newSubset := make([]int, len(subset)+1)
			copy(newSubset, subset)
			newSubset[len(subset)] = num
			newSubsets = append(newSubsets, newSubset)
		}
		result = append(result, newSubsets...)
	}

	return result
}
```

## 复杂度分析

### 回溯法

- **时间复杂度：** O(n × 2^n)
  - 共有 2^n 个子集
  - 每个子集的复制需要 O(n) 时间

- **空间复杂度：** O(n)
  - 递归栈深度最大为 n
  - 不包括存储结果的空间

### 迭代法（位掩码）

- **时间复杂度：** O(n × 2^n)
  - 需要生成 2^n 个子集
  - 每个子集需要 O(n) 时间构建

- **空间复杂度：** O(1)
  - 只使用了常数级别的额外空间（不包括结果）

### 级联法

- **时间复杂度：** O(n × 2^n)
  - 每次迭代都会将子集数量翻倍
  - 总共需要处理 n 次

- **空间复杂度：** O(n × 2^n)
  - 需要存储所有子集

## 进阶问题

### Q1: 如果数组中有重复元素，应该如何处理？

**A:** 需要先排序，然后在回溯时跳过重复元素。

```go
func subsetsWithDup(nums []int) [][]int {
	sort.Ints(nums)
	result := [][]int{}
	current := []int{}

	var backtrack func(start int)
	backtrack = func(start int) {
		temp := make([]int, len(current))
		copy(temp, current)
		result = append(result, temp)

		for i := start; i < len(nums); i++ {
			// 跳过重复元素
			if i > start && nums[i] == nums[i-1] {
				continue
			}
			current = append(current, nums[i])
			backtrack(i + 1)
			current = current[:len(current)-1]
		}
	}

	backtrack(0)
	return result
}
```

### Q2: 如果要求子集的大小恰好为 k，应该如何修改？

**A:** 在回溯时添加终止条件。

```go
func subsetsK(nums []int, k int) [][]int {
	result := [][]int{}
	current := []int{}

	var backtrack func(start int)
	backtrack = func(start int) {
		if len(current) == k {
			temp := make([]int, len(current))
			copy(temp, current)
			result = append(result, temp)
			return
		}

		for i := start; i < len(nums); i++ {
			current = append(current, nums[i])
			backtrack(i + 1)
			current = current[:len(current)-1]
		}
	}

	backtrack(0)
	return result
}
```

## P7 加分项

### 1. 深度理解：为什么子集问题适合用回溯法？

**回溯法的本质：**
- 在解空间树中进行深度优先搜索
- 每个节点代表一个决策（包含或不包含当前元素）
- 通过撤销选择（回溯）来探索所有可能

**为什么适合子集问题：**
1. **决策清晰：**每个元素只有两种选择（包含或不包含）
2. **无后效性：**当前选择不影响之前的选择
3. **边界明确：**子集大小从 0 到 n

### 2. 实战扩展：组合与排列

**组合问题：**从 n 个元素中选 k 个，不考虑顺序
**排列问题：**从 n 个元素中选 k 个，考虑顺序

```go
// 组合
func combine(n int, k int) [][]int {
	result := [][]int{}
	current := []int{}

	var backtrack func(start int)
	backtrack = func(start int) {
		if len(current) == k {
			temp := make([]int, len(current))
			copy(temp, current)
			result = append(result, temp)
			return
		}

		for i := start; i <= n; i++ {
			current = append(current, i)
			backtrack(i + 1)
			current = current[:len(current)-1]
		}
	}

	backtrack(1)
	return result
}

// 排列
func permute(nums []int) [][]int {
	result := [][]int{}
	current := []int{}
	used := make([]bool, len(nums))

	var backtrack func()
	backtrack = func() {
		if len(current) == len(nums) {
			temp := make([]int, len(current))
			copy(temp, current)
			result = append(result, temp)
			return
		}

		for i := 0; i < len(nums); i++ {
			if used[i] {
				continue
			}
			current = append(current, nums[i])
			used[i] = true
			backtrack()
			current = current[:len(current)-1]
			used[i] = false
		}
	}

	backtrack()
	return result
}
```

### 3. 变形题目

#### 变形1：子集 II（有重复元素）

**LeetCode 90:** 给定一个可能包含重复元素的整数数组 nums，返回该数组所有可能的子集（幂集）。

```go
func subsetsWithDup(nums []int) [][]int {
	sort.Ints(nums)
	result := [][]int{}
	current := []int{}

	var backtrack func(start int)
	backtrack = func(start int) {
		temp := make([]int, len(current))
		copy(temp, current)
		result = append(result, temp)

		for i := start; i < len(nums); i++ {
			if i > start && nums[i] == nums[i-1] {
				continue
			}
			current = append(current, nums[i])
			backtrack(i + 1)
			current = current[:len(current)-1]
		}
	}

	backtrack(0)
	return result
}
```

### 4. 相关题目推荐

- LeetCode 78: 子集（本题）
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