yasinshaw
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9.5 KiB
9.5 KiB
盛最多水的容器 (Container With Most Water)
题目描述
给定一个长度为 n 的整数数组 height。有 n 条垂直线，第 i 条线的两个端点是 (i, 0) 和 (i, height[i])。
找出两条线，使得它们与 x 轴共同构成的容器可以容纳最多的水。
返回容器可以储存的最大水量。
**说明：**你不能倾斜容器。
示例
示例 1：
输入：[1,8,6,2,5,4,8,3,7]
输出：49
解释：图中垂直线代表输入数组 [1,8,6,2,5,4,8,3,7]。在此情况下，容器能够容纳水（表示为蓝色部分）的最大值为 49。
示例 2：
输入：[1,1]
输出：1
约束条件
n == height.length2 <= n <= 10^50 <= height[i] <= 10^4
解题思路
方法一：双指针法（最优解）
**核心思想：**使用两个指针，一个在数组开头，一个在数组末尾。每次移动较短的指针向中间靠拢。
为什么这样做？
- 容器的容量由
min(height[left], height[right]) * (right - left)决定 - 如果移动较高的指针，宽度减小，高度只能保持不变或减小，容量一定不会增大
- 如果移动较短的指针，虽然宽度减小，但可能会找到更高的线，从而增大容量
算法步骤：
- 初始化
left = 0，right = len(height) - 1，maxArea = 0 - 当
left < right时：- 计算当前面积：
area = min(height[left], height[right]) * (right - left) - 更新
maxArea = max(maxArea, area) - 如果
height[left] < height[right]，则left++，否则right--
- 计算当前面积：
- 返回
maxArea
方法二：暴力枚举（不推荐）
枚举所有可能的线对，计算每对线构成的容器容量，取最大值。时间复杂度 O(n²)，会超时。
代码实现
Go 实现
package main
import (
"fmt"
)
func maxArea(height []int) int {
left, right := 0, len(height)-1
maxArea := 0
for left < right {
// 计算当前面积
width := right - left
h := height[left]
if height[right] < h {
h = height[right]
}
area := width * h
// 更新最大面积
if area > maxArea {
maxArea = area
}
// 移动较短的指针
if height[left] < height[right] {
left++
} else {
right--
}
}
return maxArea
}
// 测试用例
func main() {
// 测试用例1
height1 := []int{1, 8, 6, 2, 5, 4, 8, 3, 7}
fmt.Printf("输入: %v\n", height1)
fmt.Printf("输出: %d\n", maxArea(height1)) // 期望输出: 49
// 测试用例2
height2 := []int{1, 1}
fmt.Printf("\n输入: %v\n", height2)
fmt.Printf("输出: %d\n", maxArea(height2)) // 期望输出: 1
// 测试用例3: 递增序列
height3 := []int{1, 2, 3, 4, 5}
fmt.Printf("\n输入: %v\n", height3)
fmt.Printf("输出: %d\n", maxArea(height3)) // 期望输出: 6
// 测试用例4: 递减序列
height4 := []int{5, 4, 3, 2, 1}
fmt.Printf("\n输入: %v\n", height4)
fmt.Printf("输出: %d\n", maxArea(height4)) // 期望输出: 6
// 测试用例5: 包含0
height5 := []int{0, 2}
fmt.Printf("\n输入: %v\n", height5)
fmt.Printf("输出: %d\n", maxArea(height5)) // 期望输出: 0
}
-
时间复杂度： O(n)
- 只需遍历数组一次，每次移动一个指针
- 指针最多移动 n 次
-
空间复杂度： O(1)
- 只使用了常数级别的额外空间
- 只需要几个变量存储指针和最大面积
暴力枚举
-
时间复杂度： O(n²)
- 需要枚举所有可能的线对
- 共有 n(n-1)/2 种组合
-
空间复杂度： O(1)
- 只需要常数级别的额外空间
进阶问题
Q1: 如果可以倾斜容器，问题会如何变化？
A: 如果可以倾斜容器，问题会变得复杂得多。需要考虑水的倾斜角度和容器的几何形状，这涉及到更多的物理和几何计算。
Q2: 如果需要返回构成最大容器的两条线的索引，应该如何修改？
A: 在更新 maxArea 的同时，记录当前的 left 和 right 索引。
// Go 版本
func maxAreaWithIndex(height []int) (int, int, int) {
left, right := 0, len(height)-1
maxArea, bestL, bestR := 0, 0, 0
for left < right {
h := height[left]
if height[right] < h {
h = height[right]
}
area := (right - left) * h
if area > maxArea {
maxArea = area
bestL, bestR = left, right
}
if height[left] < height[right] {
left++
} else {
right--
}
}
return maxArea, bestL, bestR
}
Q3: 如果数组中有负数，应该如何处理？
A: 如果高度可以为负数，需要先过滤掉负数或取绝对值。通常物理意义上的高度不应为负，但如果题目允许，可以这样处理：
// 处理负数：取绝对值
func maxAreaWithNegative(height []int) int {
left, right := 0, len(height)-1
maxArea := 0
for left < right {
h := height[left]
if height[right] < h {
h = height[right]
}
h = abs(h) // 取绝对值
area := (right - left) * h
maxArea = max(maxArea, area)
if abs(height[left]) < abs(height[right]) {
left++
} else {
right--
}
}
return maxArea
}
func abs(x int) int {
if x < 0 {
return -x
}
return x
}
P7 加分项
1. 深度理解：为什么双指针法一定正确？
数学证明：
假设当前指针在 left 和 right，且 height[left] < height[right]。
我们要证明：移动 right 指针一定不会得到更大的面积。
- 当前面积：
S1 = height[left] * (right - left) - 移动
right后的面积：S2 = min(height[left], height[right-1]) * (right - 1 - left) - 由于
height[left] < height[right]，且right-1 < right - 所以
S2 <= height[left] * (right - 1 - left) < height[left] * (right - left) = S1
因此，移动较高的指针不会得到更大的面积。
2. 实战扩展：接雨水问题 (Trapping Rain Water)
LeetCode 42: 给定 n 个非负整数表示每个宽度为 1 的柱子的高度图，计算按此排列的柱子，下雨之后能接多少雨水。
func trap(height []int) int {
if len(height) < 3 {
return 0
}
left, right := 0, len(height)-1
leftMax, rightMax := 0, 0
water := 0
for left < right {
if height[left] < height[right] {
if height[left] >= leftMax {
leftMax = height[left]
} else {
water += leftMax - height[left]
}
left++
} else {
if height[right] >= rightMax {
rightMax = height[right]
} else {
water += rightMax - height[right]
}
right--
}
}
return water
}
核心区别：
- 盛水容器：找两条线构成最大面积
- 接雨水：计算所有能接的雨水总量
3. 变形题目
变形1：盛最多水的容器 II（允许倾斜）
如果允许容器倾斜，最大水量取决于两条线之间的最小距离和角度。
变形2：三维盛水
给定一个 m × n 的矩阵，每个格子表示高度，找出能盛最多水的四个角构成的容器。
变形3：动态盛水
容器的高度会随时间变化，求某个时间段内能盛的最大水量。
4. 优化技巧
优化1：提前终止
如果当前可能的面积（即使宽度最大）已经小于 maxArea，可以提前终止。
func maxAreaOptimized(height []int) int {
left, right := 0, len(height)-1
maxArea := 0
for left < right {
area := (right - left) * min(height[left], height[right])
maxArea = max(maxArea, area)
// 提前终止：如果当前宽度已经很窄，可能无法超过maxArea
if right-left <= maxArea/max(height[left], height[right]) {
break
}
if height[left] < height[right] {
left++
} else {
right--
}
}
return maxArea
}
优化2：跳过明显不可能的线
如果移动后的线高度比移动前还低，可以继续移动直到找到更高的线。
func maxAreaSkip(height []int) int {
left, right := 0, len(height)-1
maxArea := 0
for left < right {
area := (right - left) * min(height[left], height[right])
maxArea = max(maxArea, area)
if height[left] < height[right] {
oldLeft := left
left++
// 跳过比oldLeft还低的线
for left < right && height[left] <= height[oldLeft] {
left++
}
} else {
oldRight := right
right--
// 跳过比oldRight还低的线
for left < right && height[right] <= height[oldRight] {
right--
}
}
}
return maxArea
}
5. 实际应用场景
- 水库设计： 计算水库的最大蓄水量
- 城市规划： 确定建筑物之间的最佳距离以最大化绿化面积
- 数据压缩： 在某些压缩算法中寻找最优的分段点
6. 面试技巧
面试官可能会问：
- "为什么双指针法一定能找到最优解？"
- "如果数组有 10^8 个元素，你的算法还能用吗？"
- "如何证明你的算法是正确的？"
回答要点：
- 给出数学证明（如上所述）
- 讨论算法的局限性，考虑分布式处理
- 提供正确的证明思路
7. 相关题目推荐
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