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子集 (Subsets)

题目描述

给你一个整数数组 nums，数组中的元素 互不相同。返回该数组所有可能的子集（幂集）。

解集 不能 包含重复的子集。你可以按 任意顺序 返回解集。

示例

示例 1：

输入：nums = [1,2,3]
输出：[[],[1],[2],[1,2],[3],[1,3],[2,3],[1,2,3]]

示例 2：

输入：nums = [0]
输出：[[],[0]]

约束条件

• 1 <= nums.length <= 10
• -10 <= nums[i] <= 10
• nums 中的所有元素 互不相同

解题思路

方法一：回溯法（推荐）

**核心思想：**对于每个元素，可以选择包含或不包含。使用回溯法生成所有可能的组合。

算法步骤：

1. 初始化结果数组和当前子集
2. 定义回溯函数 backtrack(start)：
   • 将当前子集加入结果
   • 从 start 开始遍历，依次尝试包含每个元素
   • 递归调用后撤销选择（回溯）

方法二：迭代法（位掩码）

**核心思想：**子集可以用二进制表示。对于 n 个元素，共有 2^n 个子集。

算法步骤：

1. 计算子集总数 total = 1 << n
2. 对于每个数字 i 从 0 到 total-1：
   • 将 i 的二进制表示转换为子集
   • 第 j 位为 1 表示包含 nums[j]

方法三：级联法

**核心思想：**对于已有的每个子集，通过添加当前元素生成新的子集。

算法步骤：

1. 初始化结果为 [[]]
2. 对于每个元素：
   • 取出所有已有子集
   • 将当前元素添加到每个子集
   • 将新子集加入结果

代码实现

Go 实现（回溯法）

package main

import "fmt"

func subsets(nums []int) [][]int {
	result := [][]int{}
	current := []int{}

	var backtrack func(start int)
	backtrack = func(start int) {
		// 将当前子集加入结果（需要复制）
		temp := make([]int, len(current))
		copy(temp, current)
		result = append(result, temp)

		// 从 start 开始尝试包含每个元素
		for i := start; i < len(nums); i++ {
			// 选择当前元素
			current = append(current, nums[i])
			// 递归处理下一个元素
			backtrack(i + 1)
			// 撤销选择（回溯）
			current = current[:len(current)-1]
		}
	}

	backtrack(0)
	return result
}

// 测试用例
func main() {
	// 测试用例1
	nums1 := []int{1, 2, 3}
	fmt.Printf("输入: %v\n", nums1)
	fmt.Printf("输出: %v\n", subsets(nums1))

	// 测试用例2
	nums2 := []int{0}
	fmt.Printf("\n输入: %v\n", nums2)
	fmt.Printf("输出: %v\n", subsets(nums2))

	// 测试用例3
	nums3 := []int{1, 2}
	fmt.Printf("\n输入: %v\n", nums3)
	fmt.Printf("输出: %v\n", subsets(nums3))
}

func subsetsBitMask(nums []int) [][]int {
	n := len(nums)
	total := 1 << n // 2^n 个子集
	result := make([][]int, 0, total)

	for mask := 0; mask < total; mask++ {
		subset := []int{}
		for i := 0; i < n; i++ {
			// 检查第 i 位是否为 1
			if mask&(1<<i) != 0 {
				subset = append(subset, nums[i])
			}
		}
		result = append(result, subset)
	}

	return result
}

func subsetsCascade(nums []int) [][]int {
	result := [][]int{{}} // 初始化为空集

	for _, num := range nums {
		// 对于每个已有子集，添加当前元素生成新子集
		newSubsets := make([][]int, 0, len(result))
		for _, subset := range result {
			newSubset := make([]int, len(subset)+1)
			copy(newSubset, subset)
			newSubset[len(subset)] = num
			newSubsets = append(newSubsets, newSubset)
		}
		result = append(result, newSubsets...)
	}

	return result
}

复杂度分析

回溯法

• 时间复杂度： O(n × 2^n)

  • 共有 2^n 个子集
  • 每个子集的复制需要 O(n) 时间

• 空间复杂度： O(n)

  • 递归栈深度最大为 n
  • 不包括存储结果的空间

迭代法（位掩码）

• 时间复杂度： O(n × 2^n)

  • 需要生成 2^n 个子集
  • 每个子集需要 O(n) 时间构建

• 空间复杂度： O(1)

  • 只使用了常数级别的额外空间（不包括结果）

级联法

• 时间复杂度： O(n × 2^n)

  • 每次迭代都会将子集数量翻倍
  • 总共需要处理 n 次

• 空间复杂度： O(n × 2^n)

  • 需要存储所有子集

进阶问题

Q1: 如果数组中有重复元素，应该如何处理？

A: 需要先排序，然后在回溯时跳过重复元素。

func subsetsWithDup(nums []int) [][]int {
	sort.Ints(nums)
	result := [][]int{}
	current := []int{}

	var backtrack func(start int)
	backtrack = func(start int) {
		temp := make([]int, len(current))
		copy(temp, current)
		result = append(result, temp)

		for i := start; i < len(nums); i++ {
			// 跳过重复元素
			if i > start && nums[i] == nums[i-1] {
				continue
			}
			current = append(current, nums[i])
			backtrack(i + 1)
			current = current[:len(current)-1]
		}
	}

	backtrack(0)
	return result
}

Q2: 如果要求子集的大小恰好为 k，应该如何修改？

A: 在回溯时添加终止条件。

func subsetsK(nums []int, k int) [][]int {
	result := [][]int{}
	current := []int{}

	var backtrack func(start int)
	backtrack = func(start int) {
		if len(current) == k {
			temp := make([]int, len(current))
			copy(temp, current)
			result = append(result, temp)
			return
		}

		for i := start; i < len(nums); i++ {
			current = append(current, nums[i])
			backtrack(i + 1)
			current = current[:len(current)-1]
		}
	}

	backtrack(0)
	return result
}

P7 加分项

1. 深度理解：为什么子集问题适合用回溯法？

回溯法的本质：

• 在解空间树中进行深度优先搜索
• 每个节点代表一个决策（包含或不包含当前元素）
• 通过撤销选择（回溯）来探索所有可能

为什么适合子集问题：

1. **决策清晰：**每个元素只有两种选择（包含或不包含）
2. **无后效性：**当前选择不影响之前的选择
3. **边界明确：**子集大小从 0 到 n

2. 实战扩展：组合与排列

**组合问题：**从 n 个元素中选 k 个，不考虑顺序 **排列问题：**从 n 个元素中选 k 个，考虑顺序

// 组合
func combine(n int, k int) [][]int {
	result := [][]int{}
	current := []int{}

	var backtrack func(start int)
	backtrack = func(start int) {
		if len(current) == k {
			temp := make([]int, len(current))
			copy(temp, current)
			result = append(result, temp)
			return
		}

		for i := start; i <= n; i++ {
			current = append(current, i)
			backtrack(i + 1)
			current = current[:len(current)-1]
		}
	}

	backtrack(1)
	return result
}

// 排列
func permute(nums []int) [][]int {
	result := [][]int{}
	current := []int{}
	used := make([]bool, len(nums))

	var backtrack func()
	backtrack = func() {
		if len(current) == len(nums) {
			temp := make([]int, len(current))
			copy(temp, current)
			result = append(result, temp)
			return
		}

		for i := 0; i < len(nums); i++ {
			if used[i] {
				continue
			}
			current = append(current, nums[i])
			used[i] = true
			backtrack()
			current = current[:len(current)-1]
			used[i] = false
		}
	}

	backtrack()
	return result
}

3. 变形题目

变形1：子集 II（有重复元素）

LeetCode 90: 给定一个可能包含重复元素的整数数组 nums，返回该数组所有可能的子集（幂集）。

func subsetsWithDup(nums []int) [][]int {
	sort.Ints(nums)
	result := [][]int{}
	current := []int{}

	var backtrack func(start int)
	backtrack = func(start int) {
		temp := make([]int, len(current))
		copy(temp, current)
		result = append(result, temp)

		for i := start; i < len(nums); i++ {
			if i > start && nums[i] == nums[i-1] {
				continue
			}
			current = append(current, nums[i])
			backtrack(i + 1)
			current = current[:len(current)-1]
		}
	}

	backtrack(0)
	return result
}

4. 相关题目推荐

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