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三数之和 (3Sum)

LeetCode 15. Medium

题目描述

给你一个整数数组 nums，判断是否存在三元组 [nums[i], nums[j], nums[k]] 满足 i != j、i != k 且 j != k，同时还满足 nums[i] + nums[j] + nums[k] == 0。

请你返回所有和为 0 且不重复的三元组。

注意：答案中不可以包含重复的三元组。

示例 1：

输入：nums = [-1,0,1,2,-1,-4]
输出：[[-1,-1,2],[-1,0,1]]
解释：
nums[0] + nums[1] + nums[2] = (-1) + 0 + 1 = 0
nums[1] + nums[2] + nums[4] = 0 + 1 + (-1) = 0
nums[0] + nums[3] + nums[4] = (-1) + 2 + (-1) = 0
不同的三元组是 [-1,0,1] 和 [-1,-1,2]
注意，输出的顺序和三元组的顺序并不重要。

示例 2：

输入：nums = [0,1,1]
输出：[]
解释：唯一可能的三元组和不为 0

示例 3：

输入：nums = [0,0,0]
输出：[[0,0,0]]
解释：唯一可能的三元组和为 0

解题思路

核心思想

排序 + 双指针：先排序，固定第一个数，再用双指针找后两个数。

算法流程

1. 排序数组：便于去重和双指针操作
2. 遍历第一个数：
   • 跳过重复元素
   • 如果当前数 > 0，直接退出（后面都 > 0）
3. 双指针找后两个数：
   • left = i + 1, right = len(nums) - 1
   • 根据 sum 与 0 的关系移动指针
   • 跳过重复元素

复杂度分析

• 时间复杂度：O(n²)，排序 O(n log n) + 双指针 O(n²)
• 空间复杂度：O(1)，不考虑结果存储

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图解过程

数组: [-4, -1, -1, 0, 1, 2]
        ↑    ↑         ↑
        i   left      right

第一轮: i = 0, nums[i] = -4
       left = 1, right = 5
       sum = -4 + (-1) + 2 = -3 < 0
       left++

       left = 2, right = 5
       sum = -4 + (-1) + 2 = -3 < 0
       left++

       left = 3, right = 5
       sum = -4 + 0 + 2 = -2 < 0
       left++

       left = 4, right = 5
       sum = -4 + 1 + 2 = -1 < 0
       left++
       left >= right, 退出

第二轮: i = 1, nums[i] = -1
       left = 2, right = 5
       sum = -1 + (-1) + 2 = 0 ✓
       结果: [-1, -1, 2]

       left = 3, right = 4
       sum = -1 + 0 + 1 = 0 ✓
       结果: [-1, 0, 1]

第三轮: i = 2, nums[i] = -1 (重复，跳过)
第四轮: i = 3, nums[i] = 0 > 0, 退出

最终结果: [[-1,-1,2], [-1,0,1]]

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进阶问题

Q1: 如果是四数之和？

方法：在三层循环 + 双指针，时间 O(n³)

func fourSum(nums []int, target int) [][]int {
    result := [][]int{}
    sort.Ints(nums)
    n := len(nums)

    for i := 0; i < n-3; i++ {
        if i > 0 && nums[i] == nums[i-1] {
            continue
        }

        for j := i + 1; j < n-2; j++ {
            if j > i+1 && nums[j] == nums[j-1] {
                continue
            }

            left, right := j+1, n-1
            for left < right {
                sum := nums[i] + nums[j] + nums[left] + nums[right]

                if sum == target {
                    result = append(result, []int{nums[i], nums[j], nums[left], nums[right]})

                    for left < right && nums[left] == nums[left+1] {
                        left++
                    }
                    for left < right && nums[right] == nums[right-1] {
                        right--
                    }

                    left++
                    right--
                } else if sum < target {
                    left++
                } else {
                    right--
                }
            }
        }
    }

    return result
}

Q2: 如果数组很大，如何优化？

优化：

1. 提前终止：nums[i] * 3 > target（正数情况）
2. 二分查找：确定第二个数后，二分查找后两个
3. 哈希表：空间换时间

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P7 加分项

深度理解

• 排序的作用：去重 + 双指针基础
• 双指针原理：利用有序性，单向移动
• 去重策略：多处去重，确保结果唯一

实战扩展

• 大数据场景：外部排序 + 分段处理
• 分布式场景：MapReduce 框架
• 业务场景：推荐系统、用户画像匹配

变形题目

1. 16. 最接近的三数之和
2. 18. 四数之和
3. 259. 较小的三数之和

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总结

这道题的核心是：

1. 排序：为双指针和去重创造条件
2. 固定一个数：将问题转化为两数之和
3. 双指针：根据 sum 与 target 的关系移动指针
4. 多重去重：i、left、right 都要跳过重复元素

易错点：

• 忘记排序
• 去重逻辑不完整
• left 和 right 的移动条件
• 优化提前终止的条件

最优解法：排序 + 双指针，时间 O(n²)，空间 O(1)