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三数之和 (3Sum)

LeetCode 15. Medium

题目描述

给你一个整数数组 nums，判断是否存在三元组 [nums[i], nums[j], nums[k]] 满足 i != j、i != k 且 j != k，同时还满足 nums[i] + nums[j] + nums[k] == 0。

请你返回所有和为 0 且不重复的三元组。

注意：答案中不可以包含重复的三元组。

示例 1：

输入：nums = [-1,0,1,2,-1,-4]
输出：[[-1,-1,2],[-1,0,1]]
解释：
nums[0] + nums[1] + nums[2] = (-1) + 0 + 1 = 0
nums[1] + nums[2] + nums[4] = 0 + 1 + (-1) = 0
nums[0] + nums[3] + nums[4] = (-1) + 2 + (-1) = 0
不同的三元组是 [-1,0,1] 和 [-1,-1,2]
注意，输出的顺序和三元组的顺序并不重要。

示例 2：

输入：nums = [0,1,1]
输出：[]
解释：唯一可能的三元组和不为 0

示例 3：

输入：nums = [0,0,0]
输出：[[0,0,0]]
解释：唯一可能的三元组和为 0

思路推导

暴力解法分析

最直观的思路：三层循环枚举所有可能的三元组。

def threeSum(nums):
    result = set()
    n = len(nums)
    for i in range(n):
        for j in range(i+1, n):
            for k in range(j+1, n):
                if nums[i] + nums[j] + nums[k] == 0:
                    # 排序后加入集合，避免重复
                    triplet = sorted([nums[i], nums[j], nums[k]])
                    result.add(tuple(triplet))
    return [list(t) for t in result]

时间复杂度：O(n³)

• 外层循环：O(n)
• 中层循环：O(n)
• 内层循环：O(n)
• 总计：O(n³)

空间复杂度：O(1)，不考虑结果存储

问题分析：

1. 效率太低：n=2000 时，n³ = 8×10⁹ 次运算，会超时
2. 去重困难：需要额外的集合操作
3. 无法利用已知信息优化

优化思考 - 第一步：降维

观察：固定第一个数后，问题变成"两数之和"

# 固定第一个数 nums[i]
# 问题转化为：在 nums[i+1:] 中找两个数，使和为 -nums[i]

为什么这样思考？

• 三数之和 = 固定一个数 + 两数之和
• 两数之和可以用双指针 O(n) 解决
• 总复杂度：O(n) × O(n) = O(n²)

优化后的思路：

for i in range(n):
    target = -nums[i]
    # 在 nums[i+1:] 中用双指针找两数之和为 target
    twoSum(nums, i+1, target)

优化思考 - 第二步：双指针的前提条件

问题：为什么需要排序？

关键理解：双指针依赖数组的单调性

假设数组有序：[-4, -1, -1, 0, 1, 2]
                  ↑    ↑         ↑
                  i   left      right

如果 nums[left] + nums[right] < target:
- 由于数组升序，增大 left → 和会变大
- 减小 right → 和会变小
- 所以应该 left++

如果 nums[left] + nums[right] > target:
- 减小 right → 和会变小
- 所以应该 right--

不排序的后果：

• 无法确定指针移动方向
• 可能遗漏正确答案
• 无法利用有序性进行剪枝

优化思考 - 第三步：去重策略

去重的三个关键点：

1. 外层去重：跳过重复的第一个数

if i > 0 and nums[i] == nums[i-1]:
    continue

2. 内层去重：找到答案后跳过重复元素

while left < right and nums[left] == nums[left+1]:
    left += 1
while left < right and nums[right] == nums[right-1]:
    right -= 1

3. 为什么排序有利于去重？

• 相同的数会相邻
• 只需比较相邻元素即可去重
• 时间复杂度从 O(n²) 降到 O(n)

解题思路

核心思想

排序 + 双指针：先排序，固定第一个数，再用双指针找后两个数。

为什么这样思考？

1. 排序的作用：

   • 去除重复结果（相同数相邻）
   • 使数组有序，才能使用双指针
   • 提前终止（如果当前数>0，后面都>0）

2. 双指针的原理：

   • 数组有序后，如果 sum < target，需要增大 → left++
   • 如果 sum > target，需要减小 → right--
   • 利用单调性，避免暴力枚举

3. 降维思想：

   • 三数之和 → 固定一个数 → 两数之和
   • O(n³) → O(n²)

详细算法流程

步骤1：预处理 - 排序

nums.sort()  # O(n log n)

作用：

• 去重：相同元素相邻
• 双指针基础：利用有序性
• 提前终止：最小数>0则退出

步骤2：外层循环 - 固定第一个数

for i in range(len(nums) - 2):
    # 去重：跳过重复元素
    if i > 0 and nums[i] == nums[i-1]:
        continue

    # 提前终止：如果最小数>0，后面不可能=0
    if nums[i] > 0:
        break

    # 双指针找后两个数
    left, right = i + 1, len(nums) - 1
    target = -nums[i]

    while left < right:
        current_sum = nums[left] + nums[right]

        if current_sum == target:
            result.append([nums[i], nums[left], nums[right]])

            # 去重：跳过重复的left
            while left < right and nums[left] == nums[left+1]:
                left += 1
            # 去重：跳过重复的right
            while left < right and nums[right] == nums[right-1]:
                right -= 1

            # 同时移动，寻找下一组解
            left += 1
            right -= 1

        elif current_sum < target:
            left += 1  # 需要更大的和
        else:
            right -= 1  # 需要更小的和

关键点详解：

1. 为什么循环到 len(nums)-2？

   • 需要留2个数给双指针
   • i 最大只能到 n-3

2. 为什么判断 i > 0？

   • 第一个元素不用判断重复
   • 避免越界访问

3. 为什么用 break 而不是 continue？

   • 后面都>0，不可能和为0
   • 直接退出外层循环

步骤3：内层双指针 - 两数之和

def twoSum(nums, start, target):
    left, right = start, len(nums) - 1

    while left < right:
        current_sum = nums[left] + nums[right]

        if current_sum == target:
            result.append([-target, nums[left], nums[right]])

            # 去重：跳过重复的left
            while left < right and nums[left] == nums[left+1]:
                left += 1
            # 去重：跳过重复的right
            while left < right and nums[right] == nums[right-1]:
                right -= 1

            # 同时移动，寻找下一组解
            left += 1
            right -= 1

        elif current_sum < target:
            left += 1  # 需要更大的和
        else:
            right -= 1  # 需要更小的和

关键点：

• 为什么找到答案后还要跳过重复？避免重复结果
• 为什么找到答案后要同时移动？继续寻找其他组合

关键细节说明

细节1：为什么是 if i > 0？

# 错误写法
if nums[i] == nums[i-1]:  # i=0时会越界！
    continue

# 正确写法
if i > 0 and nums[i] == nums[i-1]:  # 第一个元素不用判断
    continue

细节2：为什么找到答案后要同时移动？

假设：[-2, 0, 1, 1, 2]
          i   L  R

找到：-2 + 0 + 2 = 0 ✓

如果只移动一个指针：
- L++: [-2, 0, 1, 1, 2] → -2 + 1 + 2 = 1 > 0 → R--
  但这样可能错过其他组合

正确做法：同时移动
- L++ and R--: 继续寻找其他可能的组合

细节3：为什么break而不是continue？

if nums[i] > 0:
    break  # 正确：后面的数都>0，不可能和为0
    # continue  # 错误：会继续无意义的循环

推理：

• 数组已排序
• 如果 nums[i] > 0，则 nums[i+1] >= nums[i] > 0
• 任意三个正数相加不可能为0
• 直接退出，节省时间

细节4：为什么使用 while 而不是 if 去重？

# 错误写法：只跳过一个重复元素
if nums[left] == nums[left+1]:
    left += 1

# 正确写法：跳过所有重复元素
while left < right and nums[left] == nums[left+1]:
    left += 1

示例：

数组：[-2, -1, -1, -1, 0, 1, 2]
           i   L          R

找到：-2 + (-1) + 3 = 0 ✓

如果用 if：
  只跳过一个-1，还会重复

如果用 while：
  跳过所有-1，避免重复

边界条件分析

边界1：数组长度不足

输入：[0, 1]
输出：[]
原因：长度<3，无法组成三元组
处理：循环条件 range(len(nums)-2) 自动处理

边界2：全部为0

输入：[0, 0, 0, 0]
输出：[[0, 0, 0]]
去重逻辑：只保留一个组合
过程：
  - i=0: 找到 [0,0,0]，跳过后续重复
  - i=1: nums[1]==nums[0]，跳过
  - i=2: nums[2]==nums[1]，跳过

边界3：有重复元素

输入：[-1, -1, 0, 1]
输出：[[-1, 0, 1]]
去重逻辑：跳过第二个-1
过程：
  - i=0: 找到 [-1,0,1]
  - i=1: nums[1]==nums[0]，跳过

边界4：最小的正整数情况

输入：[-2, -1, 0, 1, 2]
输出：[[-2, 0, 2], [-2, -1, 3], [-1, 0, 1]]
提前终止：i=0时nums[i]=-2<0，继续
         i=3时nums[i]=1>0，退出

复杂度分析（详细版）

时间复杂度：

- 排序：O(n log n)
- 外层循环：O(n)
- 内层双指针：O(n)
- 总计：O(n log n) + O(n²) = O(n²)

为什么主项是O(n²)？
- n² >> n log n (当n较大时)
- 渐近复杂度取最高阶

空间复杂度：

- 排序：O(log n) (快速排序栈空间)
- 结果存储：O(k) (k为结果数量)
- 指针变量：O(1)
- 总计：O(log n) (不考虑结果存储)

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图解过程

数组: [-4, -1, -1, 0, 1, 2]
        ↑    ↑         ↑
        i   left      right

第一轮: i = 0, nums[i] = -4
       left = 1, right = 5
       sum = -4 + (-1) + 2 = -3 < 0
       left++

       left = 2, right = 5
       sum = -4 + (-1) + 2 = -3 < 0
       left++

       left = 3, right = 5
       sum = -4 + 0 + 2 = -2 < 0
       left++

       left = 4, right = 5
       sum = -4 + 1 + 2 = -1 < 0
       left++
       left >= right, 退出

第二轮: i = 1, nums[i] = -1
       left = 2, right = 5
       sum = -1 + (-1) + 2 = 0 ✓
       结果: [-1, -1, 2]

       left = 3, right = 4
       sum = -1 + 0 + 1 = 0 ✓
       结果: [-1, 0, 1]

第三轮: i = 2, nums[i] = -1 (重复，跳过)
第四轮: i = 3, nums[i] = 0 > 0, 退出

最终结果: [[-1,-1,2], [-1,0,1]]

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代码实现

func threeSum(nums []int) [][]int {
    result := [][]int{}
    n := len(nums)

    // 步骤1：排序
    sort.Ints(nums)

    // 步骤2：外层循环，固定第一个数
    for i := 0; i < n-2; i++ {
        // 去重：跳过重复的第一个数
        if i > 0 && nums[i] == nums[i-1] {
            continue
        }

        // 提前终止：如果最小数>0，后面不可能=0
        if nums[i] > 0 {
            break
        }

        // 双指针找后两个数
        left, right := i+1, n-1
        target := -nums[i]

        for left < right {
            sum := nums[left] + nums[right]

            if sum == target {
                result = append(result, []int{nums[i], nums[left], nums[right]})

                // 去重：跳过重复的left
                for left < right && nums[left] == nums[left+1] {
                    left++
                }
                // 去重：跳过重复的right
                for left < right && nums[right] == nums[right-1] {
                    right--
                }

                // 同时移动，寻找下一组解
                left++
                right--

            } else if sum < target {
                left++ // 需要更大的和
            } else {
                right-- // 需要更小的和
            }
        }
    }

    return result
}

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执行过程演示

输入：[-1, 0, 1, 2, -1, -4]

排序后：[-4, -1, -1, 0, 1, 2]

i=0, nums[i]=-4, target=4
  left=1, right=5: -1+2=1 < 4 → left++
  left=2, right=5: -1+2=1 < 4 → left++
  left=3, right=5: 0+2=2 < 4 → left++
  left=4, right=5: 1+2=3 < 4 → left++
  left=5, right=5: 退出

i=1, nums[i]=-1, target=1
  left=2, right=5: -1+2=1 == 1 ✓
    添加 [-1, -1, 2]
    left=3, right=4
  left=3, right=4: 0+1=1 == 1 ✓
    添加 [-1, 0, 1]
    left=4, right=3: 退出

i=2, nums[i]=-1 (重复，跳过)

i=3, nums[i]=0 > 0, 退出

结果：[[-1, -1, 2], [-1, 0, 1]]

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常见错误

错误1：忘记排序

❌ 错误代码：

func threeSum(nums []int) [][]int {
    // 直接遍历，没有排序
    for i := 0; i < len(nums)-2; i++ {
        // ...
    }
}

✅ 正确代码：

func threeSum(nums []int) [][]int {
    sort.Ints(nums)  // 必须先排序
    for i := 0; i < len(nums)-2; i++ {
        // ...
    }
}

原因：不排序无法使用双指针，无法去重

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错误2：去重逻辑不完整

❌ 错误代码：

// 只去重了第一个数
if i > 0 && nums[i] == nums[i-1] {
    continue
}
// left和right没有去重

✅ 正确代码：

// 三个地方都要去重
if i > 0 && nums[i] == nums[i-1] {
    continue
}

for left < right && nums[left] == nums[left+1] {
    left++
}
for left < right && nums[right] == nums[right-1] {
    right--
}

原因：避免重复结果

---

错误3：指针移动条件错误

❌ 错误代码：

if sum < target {
    right--  // 错误！应该增大和
}

✅ 正确代码：

if sum < target {
    left++   // 正确！增大left可以增大和
}

原因：数组有序，left越大，和越大

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错误4：提前终止条件错误

❌ 错误代码：

if nums[i] >= 0 {  // 错误！等于0也要继续
    break
}

✅ 正确代码：

if nums[i] > 0 {  // 正确！大于0才退出
    break
}

原因：[0, 0, 0] 是有效答案

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进阶问题

Q1: 如果是四数之和？

方法：两层循环 + 双指针，时间 O(n³)

func fourSum(nums []int, target int) [][]int {
    result := [][]int{}
    sort.Ints(nums)
    n := len(nums)

    for i := 0; i < n-3; i++ {
        if i > 0 && nums[i] == nums[i-1] {
            continue
        }

        for j := i + 1; j < n-2; j++ {
            if j > i+1 && nums[j] == nums[j-1] {
                continue
            }

            left, right := j+1, n-1
            for left < right {
                sum := nums[i] + nums[j] + nums[left] + nums[right]

                if sum == target {
                    result = append(result, []int{nums[i], nums[j], nums[left], nums[right]})

                    for left < right && nums[left] == nums[left+1] {
                        left++
                    }
                    for left < right && nums[right] == nums[right-1] {
                        right--
                    }

                    left++
                    right--
                } else if sum < target {
                    left++
                } else {
                    right--
                }
            }
        }
    }

    return result
}

Q2: 如果数组很大，如何优化？

优化：

1. 提前终止：nums[i] * 3 > target（正数情况）
2. 二分查找：确定第二个数后，二分查找后两个
3. 哈希表：空间换时间

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P7 加分项

深度理解

• 排序的作用：去重 + 双指针基础
• 双指针原理：利用有序性，单向移动
• 去重策略：多处去重，确保结果唯一

实战扩展

• 大数据场景：外部排序 + 分段处理
• 分布式场景：MapReduce 框架
• 业务场景：推荐系统、用户画像匹配

变形题目

1. 16. 最接近的三数之和
2. 18. 四数之和
3. 259. 较小的三数之和

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总结

核心要点：

1. 排序：为双指针和去重创造条件
2. 固定一个数：将问题转化为两数之和
3. 双指针：根据 sum 与 target 的关系移动指针
4. 多重去重：i、left、right 都要跳过重复元素

易错点：

• 忘记排序
• 去重逻辑不完整
• left 和 right 的移动条件
• 优化提前终止的条件

最优解法：排序 + 双指针，时间 O(n²)，空间 O(1)