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# 二叉树的最大深度 (Maximum Depth of Binary Tree)

LeetCode 104. 简单

## 题目描述

给定一个二叉树，找出其最大深度。

二叉树的深度为根节点到最远叶子节点的最长路径上的节点数。

**说明**: 叶子节点是指没有子节点的节点。

**示例 1:**
```
输入：root = [3,9,20,null,null,15,7]
输出：3
```

**示例 2:**
```
输入：root = [1,null,2]
输出：2
```

**示例 3:**
```
输入：root = []
输出：0
```

## 思路推导

### 什么是树的深度？

**深度定义**: 从根节点到某个节点的路径上的节点数

```
      3          <- 深度1
     / \
    9  20        <- 深度2
      /  \
     15   7      <- 深度3

最大深度 = 3
```

### 暴力解法分析

**思路**: 一层一层遍历，数一数有多少层

**BFS解法 - 层序遍历**

```go
func maxDepth(root *TreeNode) int {
    if root == nil {
        return 0
    }

    queue := []*TreeNode{root}
    depth := 0

    for len(queue) > 0 {
        depth++                      // 进入新的一层
        levelSize := len(queue)      // 当前层的节点数

        // 处理当前层的所有节点
        for i := 0; i < levelSize; i++ {
            node := queue[0]
            queue = queue[1:]

            if node.Left != nil {
                queue = append(queue, node.Left)
            }
            if node.Right != nil {
                queue = append(queue, node.Right)
            }
        }
    }

    return depth
}
```

**时间复杂度**: O(n) - 每个节点访问一次
**空间复杂度**: O(w) - w为树的最大宽度（最后一层的节点数）

**问题**: 需要额外空间存储队列

### 优化思考 - 递归的直观性

**核心问题**: 能否更直观地计算深度？

**观察**:
- 树的深度 = max(左子树深度, 右子树深度) + 1
- 这就是递归的定义！

**递归思路**:
```
maxDepth(root) =
    0, if root == nil
    max(maxDepth(left), maxDepth(right)) + 1, otherwise
```

### 为什么递归这样写?

**核心思想**:
1. 空树深度为0（基准情况）
2. 非空树深度 = max(左子树深度, 右子树深度) + 1
3. 递归计算左右子树深度

**为什么这样思考?**
- 分治思想：大问题分解为小问题
- 树的递归定义天然适合递归求解
- 每个节点只需要知道左右子树的深度

## 解题思路

### 方法一：深度优先搜索（DFS）- 递归

### 核心思想
树的深度由其最深子树决定，递归计算左右子树深度，取最大值加1。

### 详细算法流程

**步骤1: 定义递归函数**
```go
func maxDepth(root *TreeNode) int
```

**步骤2: 确定基准情况（终止条件）**
```go
if root == nil {
    return 0  // 空树深度为0
}
```

**关键点**: 这是递归的出口，必须明确

**步骤3: 递归计算左右子树深度**
```go
leftDepth := maxDepth(root.Left)   // 左子树深度
rightDepth := maxDepth(root.Right) // 右子树深度
```

**步骤4: 返回当前树的最大深度**
```go
if leftDepth > rightDepth {
    return leftDepth + 1
} else {
    return rightDepth + 1
}
```

**简化写法**:
```go
return max(leftDepth, rightDepth) + 1
```

**图解**:
```
        3              maxDepth(3)
       / \             = max(maxDepth(9), maxDepth(20)) + 1
      9  20            = max(1, 2) + 1
        /  \           = 3
       15   7

递归过程:
maxDepth(9)   = max(maxDepth(nil), maxDepth(nil)) + 1 = 1
maxDepth(20)  = max(maxDepth(15), maxDepth(7)) + 1
              = max(1, 1) + 1 = 2
maxDepth(15)  = 1
maxDepth(7)   = 1
```

### 方法二：广度优先搜索（BFS）- 迭代

### 核心思想
按层遍历树，每遍历一层深度加1，直到遍历完所有节点。

### 详细算法流程

**步骤1: 初始化队列和深度**
```go
if root == nil {
    return 0
}

queue := []*TreeNode{root}  // 将根节点入队
depth := 0                   // 当前深度
```

**步骤2: 按层遍历**
```go
for len(queue) > 0 {
    depth++                           // 进入新的一层
    levelSize := len(queue)           // 记录当前层节点数

    // 处理当前层的所有节点
    for i := 0; i < levelSize; i++ {
        node := queue[0]
        queue = queue[1:]

        // 将下一层节点入队
        if node.Left != nil {
            queue = append(queue, node.Left)
        }
        if node.Right != nil {
            queue = append(queue, node.Right)
        }
    }
}
```

**关键点**:
- `levelSize` 很重要，确保只处理当前层的节点
- 处理完当前层后，队列中全是下一层的节点

**图解**:
```
初始状态:
queue: [3]
depth: 0

第1层:
queue: [3]        depth++ → depth = 1
处理3:
  queue: [9, 20]

第2层:
queue: [9, 20]    depth++ → depth = 2
处理9, 20:
  queue: [15, 7]

第3层:
queue: [15, 7]    depth++ → depth = 3
处理15, 7:
  queue: []

退出循环，返回 depth = 3
```

### 关键细节说明

**细节1: 为什么是 `leftDepth + 1` 而不是 `leftDepth`?**

```go
// ❌ 错误写法
return max(leftDepth, rightDepth)  // 忘记加当前节点

// ✅ 正确写法
return max(leftDepth, rightDepth) + 1  // 加上当前节点
```

**原因**: 深度是节点数，不是边数
- 子树深度 = max(左子树深度, 右子树深度)
- 当前树深度 = 子树深度 + 当前节点(1)

**细节2: 为什么要先判断 `root == nil`?**

```go
// BFS方法中
if root == nil {
    return 0  // 空树直接返回，避免初始化空队列
}
```

**原因**:
- 空树没有节点，深度为0
- 如果不判断，会导致 `queue = [nil]` 的错误状态

**细节3: 为什么BFS需要 `levelSize`?**

```go
levelSize := len(queue)
for i := 0; i < levelSize; i++ {
    // 处理当前层
}
```

**原因**:
- 在循环中会不断向队列添加子节点
- 如果没有 `levelSize`，会把下一层节点也处理了
- `levelSize` 确保只处理当前层的节点

**对比**:
```go
// ❌ 错误写法
for len(queue) > 0 {  // 会把所有层混在一起处理
    node := queue[0]
    queue = queue[1:]
    depth++  // depth会变成节点数而非层数
}

// ✅ 正确写法
for len(queue) > 0 {
    depth++
    levelSize := len(queue)
    for i := 0; i < levelSize; i++ {
        // 只处理当前层
    }
}
```

### 边界条件分析

**边界1: 空树**
```
输入: root = nil
输出: 0
处理:
- DFS: 直接返回0
- BFS: 判断root==nil，返回0
```

**边界2: 只有根节点**
```
输入: root = [1]
输出: 1
处理:
- DFS: max(maxDepth(nil), maxDepth(nil)) + 1 = 1
- BFS: 初始queue=[1], depth=1, 处理后queue=[], 退出
```

**边界3: 链状树（所有节点只有左子树）**
```
输入:
  1
 /
2
 \
  3

输出: 3
处理: DFS会递归到最深处，逐层返回
```

**边界4: 完全二叉树**
```
输入:
      1
     / \
    2   3
   / \ / \
  4  5 6  7

输出: 3
处理: 左右子树深度相同
```

### 复杂度分析（详细版）

#### DFS递归方法

**时间复杂度**:
```
- 每个节点访问一次: O(n)
- 每次访问只做常数操作: O(1)
- 总计: O(n)

为什么是O(n)?
- 递归函数被调用n次（每个节点一次）
- 每次调用只计算max和+1
- 没有重复计算
```

**空间复杂度**:
```
- 递归栈空间: O(h) - h为树高
  - 最坏情况（链状树）: O(n)
  - 最好情况（完全平衡树）: O(log n)
- 总计: O(h)

为什么是O(h)而不是O(n)?
- 递归深度 = 树的高度
- 同一时刻栈中最多有h个栈帧
- 不是所有节点同时在栈中
```

#### BFS迭代方法

**时间复杂度**:
```
- 每个节点入队出队一次: O(n)
- 每个节点处理常数次: O(1)
- 总计: O(n)
```

**空间复杂度**:
```
- 队列空间: O(w) - w为树的最大宽度
  - 最坏情况（完全二叉树最后一层）: O(n/2) = O(n)
  - 最好情况（链状树）: O(1)
- 总计: O(w)
```

### 执行过程演示

**输入**:
```
      3
     / \
    9  20
      /  \
     15   7
```

#### DFS递归执行过程

```
调用 maxDepth(3):
├─ 调用 maxDepth(9):
│  ├─ 调用 maxDepth(nil): 返回 0
│  ├─ 调用 maxDepth(nil): 返回 0
│  └─ 返回 max(0, 0) + 1 = 1
├─ 调用 maxDepth(20):
│  ├─ 调用 maxDepth(15):
│  │  ├─ 调用 maxDepth(nil): 返回 0
│  │  ├─ 调用 maxDepth(nil): 返回 0
│  │  └─ 返回 max(0, 0) + 1 = 1
│  ├─ 调用 maxDepth(7):
│  │  ├─ 调用 maxDepth(nil): 返回 0
│  │  ├─ 调用 maxDepth(nil): 返回 0
│  │  └─ 返回 max(0, 0) + 1 = 1
│  └─ 返回 max(1, 1) + 1 = 2
└─ 返回 max(1, 2) + 1 = 3

最终返回: 3
```

#### BFS迭代执行过程

```
初始:
queue = [3], depth = 0

处理第1层:
depth = 1
levelSize = 1
处理节点3:
  左孩子9入队
  右孩子20入队
queue = [9, 20]

处理第2层:
depth = 2
levelSize = 2
处理节点9:
  无孩子
处理节点20:
  左孩子15入队
  右孩子7入队
queue = [15, 7]

处理第3层:
depth = 3
levelSize = 2
处理节点15:
  无孩子
处理节点7:
  无孩子
queue = []

退出循环
返回 depth = 3
```

## 代码实现

### 方法一：DFS递归（推荐）

```go
func maxDepth(root *TreeNode) int {
    if root == nil {
        return 0
    }

    leftDepth := maxDepth(root.Left)
    rightDepth := maxDepth(root.Right)

    if leftDepth > rightDepth {
        return leftDepth + 1
    }
    return rightDepth + 1
}
```

**简化版**:
```go
func maxDepth(root *TreeNode) int {
    if root == nil {
        return 0
    }
    return max(maxDepth(root.Left), maxDepth(root.Right)) + 1
}
```

**复杂度**: O(n) 时间，O(h) 空间

### 方法二：BFS迭代

```go
func maxDepth(root *TreeNode) int {
    if root == nil {
        return 0
    }

    queue := []*TreeNode{root}
    depth := 0

    for len(queue) > 0 {
        depth++
        levelSize := len(queue)

        for i := 0; i < levelSize; i++ {
            node := queue[0]
            queue = queue[1:]

            if node.Left != nil {
                queue = append(queue, node.Left)
            }
            if node.Right != nil {
                queue = append(queue, node.Right)
            }
        }
    }

    return depth
}
```

**复杂度**: O(n) 时间，O(w) 空间

### 方法三：DFS迭代（栈）

```go
func maxDepth(root *TreeNode) int {
    if root == nil {
        return 0
    }

    type NodeWithDepth struct {
        node  *TreeNode
        depth int
    }

    stack := []NodeWithDepth{{root, 1}}
    maxDepthVal := 0

    for len(stack) > 0 {
        current := stack[len(stack)-1]
        stack = stack[:len(stack)-1]

        if current.node != nil {
            maxDepthVal = max(maxDepthVal, current.depth)
            stack = append(stack, NodeWithDepth{current.node.Left, current.depth + 1})
            stack = append(stack, NodeWithDepth{current.node.Right, current.depth + 1})
        }
    }

    return maxDepthVal
}
```

**复杂度**: O(n) 时间，O(h) 空间

## 常见错误

### 错误1: 忘记加1

❌ **错误写法**:
```go
func maxDepth(root *TreeNode) int {
    if root == nil {
        return 0
    }
    return max(maxDepth(root.Left), maxDepth(root.Right))  // 忘记+1
}
```

✅ **正确写法**:
```go
func maxDepth(root *TreeNode) int {
    if root == nil {
        return 0
    }
    return max(maxDepth(root.Left), maxDepth(root.Right)) + 1  // 加上当前节点
}
```

**原因**: 深度包括当前节点，需要加1

### 错误2: BFS忘记记录层级

❌ **错误写法**:
```go
for len(queue) > 0 {
    node := queue[0]
    queue = queue[1:]
    depth++  // 错误：这样depth等于节点数而非层数
    // ...
}
```

✅ **正确写法**:
```go
for len(queue) > 0 {
    depth++
    levelSize := len(queue)  // 记录当前层节点数
    for i := 0; i < levelSize; i++ {
        // 只处理当前层
    }
}
```

**原因**: 必须按层处理，不能混在一起

### 错误3: 空树处理不当

❌ **错误写法**:
```go
func maxDepth(root *TreeNode) int {
    queue := []*TreeNode{root}  // root可能是nil
    // ...
}
```

✅ **正确写法**:
```go
func maxDepth(root *TreeNode) int {
    if root == nil {
        return 0  // 先判断
    }
    queue := []*TreeNode{root}
    // ...
}
```

**原因**: 空树需要特殊处理，否则会出错

## 变体问题

### 变体1: 最小深度

**定义**: 根节点到最近叶子节点的最短路径上的节点数

```go
func minDepth(root *TreeNode) int {
    if root == nil {
        return 0
    }

    // 叶子节点
    if root.Left == nil && root.Right == nil {
        return 1
    }

    // 如果某个子树为空，不考虑该子树
    if root.Left == nil {
        return minDepth(root.Right) + 1
    }
    if root.Right == nil {
        return minDepth(root.Left) + 1
    }

    return min(minDepth(root.Left), minDepth(root.Right)) + 1
}
```

### 变体2: 判断是否为平衡二叉树

**定义**: 任意节点左右子树深度差不超过1

```go
func isBalanced(root *TreeNode) bool {
    return checkDepth(root) != -1
}

func checkDepth(root *TreeNode) int {
    if root == nil {
        return 0
    }

    leftDepth := checkDepth(root.Left)
    if leftDepth == -1 {
        return -1  // 左子树不平衡
    }

    rightDepth := checkDepth(root.Right)
    if rightDepth == -1 {
        return -1  // 右子树不平衡
    }

    if abs(leftDepth - rightDepth) > 1 {
        return -1  // 当前节点不平衡
    }

    return max(leftDepth, rightDepth) + 1
}
```

### 变体3: 计算每个节点的深度

```go
type NodeWithDepth struct {
    node  *TreeNode
    depth int
}

func nodesWithDepth(root *TreeNode) []*NodeWithDepth {
    if root == nil {
        return []*NodeWithDepth{}
    }

    result := []*NodeWithDepth{}
    stack := []*NodeWithDepth{{root, 1}}

    for len(stack) > 0 {
        current := stack[len(stack)-1]
        stack = stack[:len(stack)-1]

        result = append(result, current)

        if current.node.Right != nil {
            stack = append(stack, &NodeWithDepth{current.node.Right, current.depth + 1})
        }
        if current.node.Left != nil {
            stack = append(stack, &NodeWithDepth{current.node.Left, current.depth + 1})
        }
    }

    return result
}
```

## 总结

**核心要点**:
1. **DFS递归**: 简洁直观，利用树的递归定义
2. **BFS迭代**: 按层遍历，需要记录层级信息
3. **深度公式**: max(左子树深度, 右子树深度) + 1
4. **基准情况**: 空树深度为0

**易错点**:
- 忘记加1（当前节点）
- BFS忘记记录 `levelSize`
- 空树未处理

**方法选择**:
- 首选DFS递归（代码简洁）
- 需要层序信息时用BFS
- 避免递归栈溢出时用迭代